Поет народився 12 травня 1933 року в Москві. У віком 14 років він послав свої вірші Борису Пастернаку, і отримав від нього запрошення в гості. Це назавжди визначило його подальшу долю.
Вознесенський почав публікуватися з 1958 року і піддавався жорсткій критиці з боку офіційної влади. Не дивлячись на перманентну опалу, його вірші видавалися величезними тиражами. На вірші Вознесенського Андрій Рибников написав знамениту рок-оперу «Юнона і Авось», а режисер Марк Захаров поставив її в Ленкомі.
Крім віршів Андрій Вознесенський прославився своїми прозовими творами. У 1982 році він написав повість «О», а в 1984 році роман «Виконроби духу».
Андрій Вознесенський був удостоєний безлічі нагород, серед яких Орден Трудового Червоного Прапора, орден «За заслуги перед Вітчизною». Крім того Вознесенський був почесним членом Паризької академії братів Гонкур.